Эдинсон Кавани родился в городе, который является вторым по величине населенным пунктом Уругвая. Семья Эдинсона происходит из Италии.
На момент рождения Кавани родители переехали в Сальто, где он начал заниматься футболом. Его сразу заметили клубы из столицы, но юный Эдинсон не спешил переходить: «Родители всегда помогали мне дельным советом. В 12 лет меня приглашали во многие клубы из Монтевидео, но отец, который неплохо играл в футбол за ряд уругвайских клубов, сказал мне: «Ещё рано, сынок, твоё время придёт».
В 12 лет Эдинсон переехал в Монтевидео, где его взяли в молодёжную команду клуба «Данубио». В основной команде он дебютировал в 2006 году и выиграл с клубом «Апертуру» чемпионата Уругвая.
  В 2007 году игрок, проявляя себя в сборной, заинтересовал ведущие клубы Европы, такие как «Ювентус» и «Милан». 29 января 2007 года президент «Палермо» объявляет о подписании многообещающего уругвайского футболиста. В «Палермо» Кавани дебютировал 11 марта 2007 года в домашнем матче против «Фиорентины» (1:1), выйдя на замену на 55-й минуте, пятнадцать минут спустя отметился первым голом в чемпионате. Через шесть дней он вновь отметился, на этот раз отправив мяч в ворота «Сампдории».
Летом 2007 года игрок подписал улучшенное соглашение с «Палермо» до 2012 года, добившись увеличения годового оклада до 1 миллиона евро. В сезоне 2007/08 в основном он выходил на замены, забив 5 голов в 27 матчах. По-настоящему раскрыться и показать свои лучшие качества игрок сумел лишь в сезоне 2008/09. Начав забивать с первых матчей, он наколотил в ворота соперников 14 мячей, став лучшим игроком «Палермо». Очень важными оказались два гола, забитых на последних минутах в ворота «Дженоа» (2:1) и «Интера» (2:2).
В феврале 2010 года Уругваец выразил желание покинуть «Палермо» и перейти в «Ювентус» или «Челси». Несмотря на это, игрок все же продлил контракт с «Палермо» в марте 2010 года до 2014 года с зарплатой 1 млн евро в год. Согласно контракту, если другой клуб примет решение выкупить контракт игрока, он будет вынужден выплатить сумму в 25 млн евро.
В мае 2010 года казанский «Рубин» и донецкий «Шахтёр» изъявили желание приобрести нападающего и сделали предложения о покупке Кавани. В июне 2010 года английский клуб «Манчестер Сити» предложил за переход Кавани 19 млн евро. 29 июня Дзампарини объявил, что Кавани, вместе с партнёром по команде, Симоном Кьером, переходит в клуб «Тоттенхэм Хотспур», заплатив за трансфер обоих футболистов 35 млн евро. Однако руководство английского клуба опровергло слова Дзампарини.
17 июня 2010 года президент «Наполи» Аурелио Де Лаурентис объявил о переходе Кавани в ряды неаполитанского клуба. Игрока взяли в аренду на год за 5 миллионов евро с правом последующего выкупа за 12 миллионов. Личный контракт с клубом игрок подписал до 2015 года с ежегодной зарплатой 1.35 млн без учёта разных бонусов. Также было условие, при котором уругваец получит 100 000 евро в случае, если забьет больше 20 голов и 200 000 тысяч евро, если удастся забить более 30 голов.
  19 августа он дебютировал в составе «Наполи» в домашнем матче Лиги Европы против «Эльфсборга», матч закончился со счетом – 1:0. Через неделю Кавани оформил дубль в ответном поединке в Швеции, а его команда успешно прошла в групповую стадию турнира. В первых трёх матчах итальянской Серии А игрок забил три гола, по голу в каждом матче. 15 декабря Кавани забил гол в ворота «Стяуа» в Лиге Европы, который принёс его клубу победу и вывел команду в плей-офф турнира ^. 9 января 2011 года Кавани оформил хет-трик забив три гола в ворота «Ювентуса», причём все три раза забивал головой. 30 января Эдинсон вновь сделал хет-трик, забив голы в ворота «Сампдории». 3 апреля Кавани вновь забил очередной хет-трик, тем самым принеся победу своей команде в противостоянии с «Лацио», матч закончился со счётом – 4:3 в пользу команды уругвайца. В мае Кавани был дисквалифицирован на три игры и оштрафован на 10 000 евро за то, что шутил над арбитром по поводу его удаления с поля; позже дисквалификация была уменьшена до двух игр. 19 мая 2011 года Кавани подписал контракт с клубом до июня 2016 года с заработной платой в 2 млн евро. В контракте игрока вновь была прописана фиксированная сумма отступных, на этот раз в размере 35 миллионов евро. Летом за Кавани были готовы выложить до 30 млн фунтов такие клубы как «Челси» и «Манчестер Сити», однако «Наполи» не хотел расставаться со своим лидером, так как всерьез нацелился на чемпионский титул.
С самого начала сезона 2011/12 Кавани продолжил забивать. 18 сентября он сделал хет-трик в матче с «Миланом». Осенью того же года уругвайцем заинтересовался «Челси», предлагавший за трансфер футболиста 35 млн фунтов и «Манчестер Сити». По итогам сезона Эдинсон второй год кряду стал лучшим бомбардиром своей команды. Также он сумел завоевать Кубок Италии — свой первый трофей в итальянской карьере. С 5 голами Эдинсон стал лучшим бомбардиром данного турнира, также отметился дублем в ворота «Интера» на стадии 1/32 финала и отличившись голом в финале против «Ювентуса» (2:0).
Летом 2012 года новости о переходе Кавани стали излюбленной темой всех европейских СМИ. Однако уругваец остался в команде и сумел стать лучшим бомбардиром итальянской Серии A. Дебютный гол он забил уже в матче первого тура против родного «Палермо» (3:0). 16 сентября 2012 года, благодаря голу с пенальти в ворота «Пармы», нападающий «Наполи» Эдинсон Кавани стал самым результативным уругвайским игроком за всю историю чемпионатов Италии. После этой игры на счету форварда стало 85 голов в Серии А за «Палермо» и «Наполи». Предыдущий же рекорд принадлежал Рубену Сосе, который в своё время забил 84 гола в матчах за «Лацио» и «Интер».
  26 сентября 2012 года Кавани сделал хет-трик в матче с «Лацио» . 8 ноября 2012 года игрок забил четыре мяча, в 4-м туре Лиги Европы, в ворота днепропетровского «Днепра». Благодаря этим голам «Наполи» выиграл со счётом 4:2.В ноябре 2012 года интерес к Кавани выразил главный тренер лондонского «Арсенала», Арсен Венгер, готовый выкупить контракт уругвайца за 30 млн фунтов стерлингов. С 29 голами в активе Эдинсон выиграл гонку бомбардиров, став лучшим игроком клуба. После удачного сезона в «Наполи» интерес к Кавани возрос еще больше. Многие топ клубы, например английские «Манчестер Юнайтед», «Манчестер Сити» и «Челси», немецкая «Бавария» и испанский «Реал» наблюдали за нападающим. Однако ближе всех к подписанию нападающего оказался «Пари Сен-Жермен».
16 июля 2013 года Кавани заключил пятилетний контракт с французским клубом. Сумма трансфера составила 64 млн евро. Трансфер уругвайца побил сразу несколько рекордов: во-первых, он стал рекордным подписанием «ПСЖ» и рекордной продажей «Наполи». Также Кавани стал самым дорогим футболистом в истории французского футбола, вдобавок установив рекорд для уругвайских футболистов, правда позже его побил Луис Суарес. В стане «парижан» образовалась поражающая ударная сила. Атака из таких двух великолепных форвардов, как Кавани и Златан Ибрагимович, вызывала страх у любого защитника.
9 августа 2013 года Кавани дебютировал за французский клуб, выйдя на замену в матче против «Монпелье», а уже 18 августа забил первый мяч за новую команду, поразив ворота «Аяччо». В дебютном сезоне провёл на поле 30 матчей Лиги 1, забив 16 мячей. Также Кавани отметился дублями в полуфинале Кубка Лиги против «Сент-Этьена» и в финале против «Марселя» (2:0). Зачастую уругваец оставался в тени Ибрагимовича, выступая в качестве ассистента и на более оттянутой позиции. Уход шведа в «Манчестер Юнайтед» летом 2016 года позволил Кавани стать настоящим лидером атаки своей команды. Признанием этого стало звание футболиста года во версии НСПФ в 2017 году. После провального сезона 2016/17 годов, когда «ПСЖ» уступил чемпионский титул «Монако», президент клуба Нассер Аль-Хелаифи принял решение значительно усилить состав команды.
Летом 2017 года состав «ПСЖ» пополнили несколько мировых звезд, включая Килиана Мбаппе и Неймара. В начале сезона между бразильцем и Кавани произошел серьезный конфликт, который перенесся в раздевалку клуба. В результате споров появились слухи о том, что Кавани будет вынужден покинуть команду в январе, но они оказались ложными. В сезоне 2017/18 Кавани стал лучшим бомбардиром в истории «Пари Сен-Жермен», забив 157-й мяч в своем 229-ом матче за клуб